Continuity

基础定义

定义： 设 ， ，满足：

等价表达：

合并 和 的标准要素集为

连续性表达式：

在连续性定义下 ，使用 合成 和上一层的输出，与 直接作用于由 生成的中间值是等价的。

推广定义

给定：

• ，可看作函数的外在作用定义

• 是一个“ 应用函数 ”，其等价于函数调用本身（如果不引入副作用或上下文依赖）

于是我们可以尝试将其推广为一个递归定义：

那么有：

扩展定义

引入上下文依赖的连续性表达：

进一步抽象为函数形式：

其中，上下文 由系统状态序列导出，即：

因此，本质上我们可以表达为：

核心理解： 是状态集合 的某种投影或变换结果，即上下文并不是独立存在的，而是系统状态演化链中的“可感知环境”。

如果 上下文内部化 则回归到推广定义。

自举定义

自举是一个系统在初始非完整状态下，通过其内部结构与可组合规则，生成（或解释）自身整体结构的过程。

形式化三元组系统 中，存在某个初始状态 与一组生成函数 ，使得：

系统在初始不完备状态下，经由连续演化，可以生成包含自身定义的结构。

通用定义

连续性与自举的关系

自举是连续性的一个不动点特例

• 自举可以视为一个连续过程的终点或不动点：

• 将连续性看作 ，那么自举是使 ，即系统在某一点“稳定下来”，成为自己的生成者。

连续性提供了生成自举状态的过程，自举是连续系统中的“闭环”。

自举依赖连续性

• 若无连续性，无法定义或生成自举条件

• 自举系统通常要从“最小初态” 开始，通过一系列规则构建自身，这正是连续性的链式生成。

连续性解决了自举的“起点悖论”

• 自举系统常被质疑“第一步是谁写的？”

• 若理解为连续演化系统（从 开始），则起点问题不再是悖论，而是历史问题；

• 连续性允许一个不完全系统，通过不断自生成演化为自足系统。

数学抽象上的融合

• 连续性可看作序列 的定义；

• 自举是找出 使得 ，即不动点。

从 固定点理论 的角度，自举是连续映射在某空间中的不动点，即：

这与 Banach 不动点定理、λ演算中的Y组合子 等理论一致。

什么是 P vs NP？

• P ：多项式时间内可解的问题。

• NP ：多项式时间内可验证的问题。

• P = NP 表示：所有可以验证的问题，也都可以在合理时间内被解出。

• 这是一个判定性（解构）与生成性（构造）之间的等价性问题。

引入连续性视角

从“计算过程的连续性”出发

可以将算法的执行视为一个状态转移链：

其中 是算法的下一步执行规则。如果整个过程是结构连续且可逆的（每一步都不产生信息跳跃），那么我们倾向于认为：

如果存在一个多项式时间内的验证路径，那么也许可以通过“连续逼近”的方式找到解。

然而，NP 问题中常常是这样的情况：

• 存在一个非连续跳跃空间—— 即你在搜索空间中的每一步信息不连续地爆炸或消失。

• 也就是说，从解空间出发，无法连续地“回导”出构造路径。

若存在某种结构化方法，使得验证路径可以连续映射或逼近为构造路径，则 将具备可解可能。

从“状态结构的连续性 vs 离散爆炸”来看

对于 NP 问题，我们面对的是一种离散不连续的状态空间：

• 在指数级状态空间中，大多数状态是无效的。

• “正确路径”是隐藏在指数状态图中的某个孤点。

• 因此，构造路径不是连续变换的结果，而是跳跃式猜测。

这构成了 NP 问题的“非连续性本质”。

如果某种数学方法能把这个状态空间“连续化”或“光滑化”，则可能使搜索过程转化为连续函数路径逼近问题， 此时， 有望成立。

从“证明的连续性”角度看

考虑哥德尔不完全性与构造证明问题：

• 一个“验证逻辑链”是连续的。

• 但构造“完整证明”常常需要非连续的创见（跳跃）。

• 因此，P=NP 是在问： 是否所有“非构造证明”都有“构造的等价表达”？

这与连续性密切相关。

如果证明空间是连续可流形化的（可微/可迭代收敛），那么 的路径也许存在。