Affine Space

仿射子空间

备注：

在机器学习领域的文献中，线性和仿射之前的区别有时是不明确的，因此我们可以将线性空间/映射作为仿射空间/映射的参考。

定义 仿射子空间

使 为向量空间， ，以及子空间 。那么子集

称为 的 仿射子空间(affine subspace) 或V的线性流型(linear manifold)。 称为方向(direction)或方向空间(direction space), 被称为 支撑点(support point)， 在第十二章分类中，我们也称这个子空间为一个 超平面(hyperplane)

注意，如果 ，那么仿射子空间不包括 。 因此，对于 ，仿射子空间不是 的（线性）子空间（向量子空间）

仿射子空间的例子是中的非远点以及不穿过原点的点、线和平面。

备注：

考虑向量空间 两个仿射空间 和 ， 当且仅当 和 时，

仿射子空间通常用参数(parameters)来描述： 考虑 的一个 维仿射空间 ，若是的有序基， 那么任意 都能被唯一描述为：

其中， 这种表示称为关于 方向向量(directional vectors)和参数 的 参数方程(parametric equation)

例 仿射子空间

一维仿射子空间称为线(line )，可以写成 ，其中和是的一维子空间。 这意味着直线有支撑点和方向向量定义，如图2.13

图2.13 线为仿射子空间。 线上的向量在支持点位， 方向为的仿射子空间上。

• 的二维仿射子空间称为平面(plane)。 平面的参数方程为 ， 其中。 这意味这平面由支撑点 和张成方向空间的两个线性独向量、 定义。

• 在中， 维仿射子空间称为超平面(hyperplanes)， 相应的参数方程为 ， 其中是构成的维子空间的基。 这意味着超平面由支撑点 和 个线性无关向量张称方向空间定义。 在中，直线也是一个超平面。在中，平台也是一个超平面。

备注 非齐次线性方程组于仿射子空间

对于 和 ， 线性方程组 的解是维的空集或的仿射子空间。 特别地，如果， 则线性方程 的解是的超平面。

在中，每个 维仿射子空间都是一个非齐次线性方程组 的解， 其中 且 。 回想一下前面的内容，对于齐次方程组 ，其解是一个向量子空间。 我们也可以把它看作支撑点 的特殊仿射空间。

仿射映射

类似于向量空间之间的线性映射，我们也可以定义两个仿射空间之间的仿射映射。线性映射和仿射映射密切相关。因此，我们从线性映射中已经知道的许多性质( 例如线性映射的合成是一种线性映射)也适用于仿射映射。

定义 仿射映射

对于两个向量空间 ， 一个线性映射 和 ，映射

为 到 的一个仿射映射(affine mapping)。 向量 称为的平移向量(translation vector)

• 每个仿射映射 也是线性映射和平移 在中的组合： 。其中映射和是唯一确定的。

• 仿射映射， 的合成也是仿射映射

• 仿射映射保持几何结构不变。它们还保留了尺寸比例和平行度。