Basis and Rank

生成集和基

定义 生成集和生成空间

考虑一个向量空间 和一个向量集 ，如果每个向量 都可以表示为 的线性组合。

则称 为 的生成集(generating set)。

中的向量的所有线性组合的集合称为 的生成空间(span)。

如果 张成向量空间 ，则记 或

生成集是张成向量空间（或子空间）的向量集，即，向量空间（或子空间）中的每个向量都可以表示为生成集中的向量的线性组合。

下面更具体描述向量（子）空间的最小生成集

定义 基

考虑向量空间 和。 如果没有更小的集合 。

则称 的生成集 为最小生成集(minimal)。

的每一个线性独立的生成集都是最小生成集，都被称为 的基(basis)

设 为向量空间，且。 那么以下的描述是等价的

• 是 的基

• 是最小生成集

• 是 中向量的一个最大线性无关（线性独立）集合，也就是说，在这个向量集中添加任何其他向量都会使它线性相关

• 每个向量 都是 中向量的线性组合，且每个线性组合都是唯一的，即

  其中且:

例

• 在 中，规范/标准基(canonical/standard basis) 为

• 中有不唯一的基:

• 集合

  是线性独立的，但不是的生成基（也不是基）: 例如，向量不能通过 中的向量线性组合得到。

备注

每个向量空间都有一个基 。前面的例子表面向量空间 可以有许多基，即没有唯一基，然而所有的基都由相同数量的元素，即 基向量(basic vector) 组成

我们只考虑有限向量空间 。在这种情况下， 的 维数(dimension) 是 的基向量的个数，我们写成 。 如果 的子空间为 ， 那么 。直观的说，向量空间的维度可以看作是这个向量空间中独立方向的个数。

备注

向量空间的维度不一定是向量中元素的个数。例如向量空间 是一维的，尽管基向量有两个元素。

备注

子空间 的基可以通过执行以下步骤确定

• 1 把生成向量写成 矩阵 的列

• 2 确定的行阶梯型

• 3 与主元对应的生成向量就是 的

例 基的确定

向量子空间 由以下向量张成

我们关注 中哪几个是的基。 为此，需要判断是否线性独立。因此我们需要解一个矩阵齐次方程

对应矩阵为：

利用线性方程组的基本变换规则，得到了行阶梯型矩阵：

由于主元列对应的那组向量是线性独立的， 因此我们从行阶梯型可以看出 是线性独立的（因为线性方程组 只能用 ） 来解。 因此 是 的基

秩

矩阵 的线性独立列的个数等于线性独立行的个数， 这个数称为 的秩， 用 表示

备注

矩阵的秩有一些重要的性质

• ，即列秩等于行秩序

• 的列张成一个子空间 ， 。 在后面内容中我们将这个子空间称为像或值域。通过对应用高斯消元法来确认主元列，可以找到 的基

• 的行张成一个子空间 ， 。 通过对 应用高斯消元法确认主元列，可以找到 的基。

• 对于任意方阵 ， 是正则的（可逆） 当且仅当

• 对于任意 和 ， 线性方程组 有解当且仅当 ， 其中 表示增广矩阵

• 对于任意 的解的子空间维数为 。后面我们会称这个子空间为核或零空间

• 如果矩阵 的秩等于相同维数矩阵的最大可能秩，则它拥有满秩(full rank)。 也就是说满秩矩阵的秩是行数或列数中的较小者，即 。如果矩阵不满足满秩要求，则称它 不满秩(rank deficient)

例

• 有两个线性独立的行/列，所有

• 使用高斯消元法来确定秩：

  有两个线性独立的列，所以